Вычисление средней скорости потока флюида в пористой среде с помощью функционалов Минковского

Введение

Динамика жидкостей и газов в сложных неупорядоченных средах представляет собой все более важный предмет исследований в ряде прикладных наук в связи с растущим спросом во многих практических областях, таких как материаловедение, почвоведение, инженерия подземных вод, химическая инженерия и, в особенности, нефтегазовая инженерия.

Информация о геологической структуре керна и соответствующих параметрах потока флюида имеет решающее значение для правильной оценки свойств пласта и эффективной добычи ископаемого топлива из недр.

Важное место в описании резервуаров занимает точное прогнозирование эффективных петрофизических свойств, которые характеризуют структуру керна и его транспортные (фильтрационные) свойства. Описание резервуаров выполняется в различных масштабах: в масштабе нефтегазового поля, в масштабе керна и в масштабе порового пространства (Scheidegger, 1957; Bear, 1975; Tiab, Donaldson, 2011; Satter, Iqbal, 2015).

На масштабе керна основными свойствами, широко используемыми в промышленных приложениях, являются пористость, а также абсолютная и относительная проницаемость (Blunt, 2016; Blunt, 2017; Schoen, 2015). Различные подходы к моделированию и оценке абсолютной и относительной проницаемости занимают существенное место в петрофизическом анализе.

Эффективные свойства на масштабе керна, такие как пористость и проницаемость, предоставляют в компактной форме важную информацию и могут использоваться для приблизительной оценки резервуаров. Однако, данные свойства не учитывают внутреннюю морфологию пор и топологическую структуру пористой среды.

Экспериментальные исследования динамики течения в пористых средах включают в себя различное численное моделирование, а также натурные фильтрационные эксперименты. Поток может быть однофазным (газ или газовый конденсат) или двухфазным (смесь газа и жидкости). В данной статье мы рассмотрим только случаи однофазного течения (только жидкая газоконденсатная фаза), поскольку многофазное течение зависит не только от геометрии порового пространства, но и от межфазного взаимодействия и обмена углеводородными компонентами. При этом, как будет показано далее, само течение для инертного флюида адекватно описывается функционалами Минковского (Matheron, 1974; Serra, 1983) с соответствующими параметрами, отражающими различия в плотности и вязкости рассматриваемой фазы. Численное моделирование обычно требует значительной вычислительной мощности и в основном выполняется с использованием параллельных вычислений на кластерах. Традиционные полномасштабные фильтрационные эксперименты с реальными образцами и жидкостями обычно требуют использования больших и дорогостоящих экспериментальных установок и, как правило, существенных временных затрат (Ferreol, Rothman, 1995; Ahmed, 2010; Satter, Iqbal, 2015).

Что касается описания самих образцов, одним из наиболее распространенных методов получения информации о внутренней пространственной структуре реальных образцов пористых сред является рентгеновская компьютерная микротомография (Hounsfield, 1973). Компьютерная микротомография (далее – микро-КТ) позволяет получить детальное представление о внутренней структуре образца пористой среды в виде трехмерного полутонового (в градациях серого) изображения, отражающего распределение рентгеновской плотности.

Для получения количественной информации о структуре образца и проведения любых численных симуляций потоков в образцах, необходимо бинаризовать исходные полутоновые изображения, полученные из микро-КТ (Cnudde, Boone, 2013). Обработка изображений охватывает широкий спектр различных методов бинаризации (Sezgin, Sankur, 2004; Sheppard et al., 2004). Метод Оцу (Otsu, 1979), основанный на минимизации внутриклассовой дисперсии интенсивности, является одним из самых популярных методов бинаризации полутоновых изображений. В этой работе в качестве входных данных используются уже бинаризованные томографические изображения.

В настоящей статье основное внимание уделяется детальной характеризации однофазных потоков в пористых средах с использованием инструментов интегральной геометрии, а также установлению связи геометрических параметров порового пространства со средней скоростью потока в каждом слое в образцах пористых сред. Интегральная геометрия предоставляет набор эффективных инструментов для количественной оценки морфологических и структурных свойств пористых сред в масштабе порового пространства (Matheron, 1974; Bonnesen et al., 1988; Serra, 1983; Michielsen, Raedt, 2001). Инструменты представляют собой набор количественных характеристик, называемых функционалами Минковского. Функционалы Минковского имеют связь с некоторыми основными геометрическими характеристиками объектов в евклидовом пространстве. Например, в трехмерном пространстве существует 4 функционала Минковского, которые пропорциональны соответственно объему, площади поверхности, средней интегральной кривизне и эйлеровой характеристике. В двумерном пространстве существует 3 функционала Минковского, которые пропорциональны соответственно площади поверхности, периметру и эйлеровой характеристике.

Методы интегральной геометрии уже нашли свое применение в общей характеризации и классификации образцов пористых сред в различных практических областях (Adler, 1992; Arns et al., 2001; Arns et al., 2010; Ivonin et al., 2020; Ivonin et al., 2021; Kalnin et al., 2021), использовались для оценки эффективных петрофизических свойств (Arns et al., 2005; Scholz et al., 2012; Scholz et al., 2015; Liu et al., 2017; Armstrong et al., 2019; Xiong et al., 2019; Blunt et al., 2020; Slotte et al., 2020; Sibiryakov et al., 2021; Haque et al., 2024), а также для описания капиллярного давления (Mcclure et al., 2018), и для характеризации морфологии капель нефти (Wang et al., 2022). В свою очередь, проблема характеризации скорости потока флюида в пористой среде через геометрию пор также представляет интерес для специалистов в области добычи углеводородов, однако до сих пор не была детально изучена.

В работе показано, что для заданного класса пористой среды средняя скорость потока в каждом слое для любого образца из того же класса (петротипа) может быть представлена как линейная функция функционалов Минковского, рассчитанных для двумерных сечений порового пространства, со статистически значимыми коэффициентами, полученными из линейной регрессии. Это дает инструмент для надежного и гибкого метода оценки потока флюида в образцах из известного класса без необходимости проведения ресурсоемких численных либо натурных фильтрационных экспериментов.

В качестве примеров пористых сред в настоящей работе выбраны образцы из газовых пластов, из которых добывается как газ, так и газовый конденсат (флюид), в связи с растущей значимостью данного типа пластов, вызванной глобальным переходом к природному и сжиженному газу как ключевому источнику энергии. Движение жидкой фазы рассматривается как отдельный, более сложный случай по сравнению с газом, поскольку, в отличие от газа, жидкая фаза может перемещаться, не занимая при этом все доступное поровое пространство, а используя для течения «эффективную часть» порового пространства (при насыщенностях выше критической). Таким образом, базовая геометрия минерального скелета и эффективная геометрия для условий данной фазы, определяемая типом и свойствами рассматриваемого флюида, могут существовать одновременно и быть исходными данными для расчета параметров потока с использованием функционалов Минковского.

Цель настоящего исследования: разработать новый метод оценки пространственного распределения средней скорости потока флюида в пористой среде на основе значений геометрических характеристик порового пространства. Для её достижения поставлены следующие задачи:

1. количественно описать связь значений средней скорости флюида, протекающего в пористой среде, со значениями двумерных функционалов Минковского слоев порового пространства;

2. описать общий процесс построения в рамках произвольно заданного класса образцов (петротипа) модели для оценки распределения значений средней скорости потока флюида на основе значений двумерных функционалов Минковского;

3. на примере синтетических образцов и образцов из нефтегазовых коллекторов построить на основе функционалов Минковского оценки распределения значений средней скорости потока флюида в пористой среде.

Описание общего алгоритма исследования

В работе представлен алгоритм характеризации средней скорости потока флюида в пористой среде. Рассматривается простейший случай медленного однофазного потока. Общий алгоритм исследования можно разбить на 2 блока: блок построения модели и блок предсказания значений средней скорости потока с помощью построенной модели.

Обозначим как L произвольный класс пористой среды. Пусть известно, что Образец 1 и Образец 2 принадлежат классу L. Блок построения модели содержит следующие шаги:

1. выбор в классе L образца, например Образца 1, с использованием которого будет строиться модель;

2. получение информации о внутренней пространственной структуре Образца 1 в виде цифрового изображения (например, с использованием микро-КТ);

3. бинаризация исходного изображения образца;

4. проведение численной симуляции потока флюида на бинаризованном изображении образца, получение средних значений скорости потока в каждом слое образца, перпендикулярном оси, в направлении которой подается поток;

5. построение линейной регрессионной модели, которая устанавливает для образцов класса L связь между средней скоростью потока в каждом слое с геометрическими параметрами (функционалами Минковского) соответствующих данному слою слоев порового пространства.

Блок предсказания значений средней скорости потока с помощью построенной модели содержит следующие шаги:

1. выбор в классе L образца, например Образца 2, в котором необходимо предсказать средние скорости в каждом слое;

2. аналогично п. 2 из блока построения модели, но с использованием Образца 2;

3. аналогично п. 3 из блока построения модели, но с использованием Образца 2;

4. предсказание значений средней скорости потока в каждом слое Образца 2 с помощью регрессионной модели для образцов класса L.

При условии надежности построенных регрессионных моделей для каждого класса образцов такой алгоритм позволяет детально характеризовать распределение по слоям образцов средней скорости потока жидкости, основываясь только на геометрии образца, что исключает необходимость в дорогостоящем дополнительном численном моделировании.

Используемые образцы

Ввиду значительного практического интереса, керны из нефтегазоконденсатных резервуаров были выбраны в качестве примеров пористых сред. Образцы были отобраны из соображений репрезентативности и охвата основных типов резервуаров. Рассматриваемые образцы представляют интерес для широкого спектра геологических условий и часто используются в качестве объектов исследования или ссылок в реальных и численных петрофизических исследованиях. Это было сделано, с одной стороны, для того, чтобы получить обширную сравнительную базу с физическими и численными исследованиями, проведенными ранее, и, с другой стороны, чтобы иметь метод с областью применения, охватывающей 90% типов углеводородных резервуаров, которые находятся в стадии текущей или перспективной разработки.

Были изучены следующие классы образцов пористых сред:

1. синтетические образцы (изготовленные путем высокотемпературного спекания стеклянных шариков (дроби) радиусами 70–100 мкм, 300–400 мкм и 400–600 мкм, далее обозначаются как A1, A2 и т.д.);

2. карбонаты (далее обозначаются как C1, C2 и т.д.);

3. песчаники (далее обозначаются как S1, S2 и т.д.).

Исходные данные по образцам пористых сред были получены с помощью микрокомпьютерной томографии (микро-КТ) с разрешением 16,5 мкм/пиксель для синтетических образцов и 5 мкм/пиксель для карбонатов и песчаников. Затем исходные изображения были бинаризованы с помощью программного обеспечения ImageJ с использованием метода Оцу, в результате чего были получены бинарные кубические массивы размером 400×400×400 вокселей.

Изображения поперечных сечений бинаризованных образцов пористой среды разных классов, использованных в данной работе, представлены на рис. 1.

Синтетические керны были выбраны как простейший тип геологического образца с однородной и изотропной структурой, позволяющей проводить физические и численные исследования. Эти структуры часто используются исследователями во всем мире, чтобы иметь возможность проводить сравнительные исследования без необходимости транспортировки образцов из одного места в другое для проведения испытаний для межлабораторного сравнения. Хотя использование эталонных геологических объектов – Береа, Бентхаймер и т.д., ранее было преобладающим в практической области. Основные недостатки использования природных образцов, такие как изменчивость свойств и территориальная привязка, не позволяют достичь идентичности объектов исследования. Таким образом, синтетические керны были выбраны вместо «классических» эталонных объектов с целью легкой воспроизводимости и репликации результатов.

Образцы карбонатов (геологический возраст D3FM, глубина 2800–3400 м) были отобраны из действующего газового месторождения, расположенного в Тимано-Печорском бассейне с запасами, относящимися к категории трудноизвлекаемых. В связи с этим, для данного пласта был выполнен обширный комплекс исследований, позволяющий провести надежный анализ различными методами. Карбонатные пласты, аналогичные рассматриваемому, содержат около 12% мировых запасов углеводородов и представляют собой наиболее распространенную в мире категорию карбонатных коллекторов.

Образцы терригенных пород или песчаников (геологический возраст Ach3, глубина 3100–3600 м) были отобраны из действующего газового месторождения в Западно-Сибирском бассейне. Это также сложный резервуар с неоднородной и анизотропной структурой. Мотивация для выбора песчаников в рамках данной работы аналогична выбору для карбонатов. По разным оценкам, песчаноподобные резервуары содержат около 30% мировых остаточных запасов углеводородов.

Набор образцов подобран таким образом, чтобы, с одной стороны, охватить наиболее простые и распространенные случаи, что позволит исследователям по всему миру самостоятельно опробовать метод и сравнить результаты, а с другой стороны, представить наиболее перспективные и практически значимые типы структур порового пространства с опытом успешной разработки месторождений углеводородов.

В табл. 1 представлены стандартные диапазоны значений проницаемости (полученные с помощью газового пермеаметра) для каждого класса образцов.

Табл. 1. Стандартные диапазоны значений проницаемости (полученные с помощью газового пермеаметра) для синтетических образцов, карбонатов и песчаников

Функционалы Минковского и их вычисление на цифровых изображениях

Образец бинарной пористой среды состоит из двух взаимодополняющих частей (фаз): твердой (каменной) фазовой области, которая считается непроницаемой для жидкостей, и области порового (пустотного) пространства, по которой возможен перенос жидкости. Ввиду их взаимодополняемости, любая из этих двух частей может быть использована для характеризации морфологии образца. В этой работе мы сосредоточимся на структуре порового пространства, поскольку оно служит непосредственно каналом для переноса жидкости.

Интегральная геометрия предоставляет набор полезных инструментов для описания сложной структуры порового пространства. Функционалы Минковского, введенные в интегральной геометрии, включают набор инвариантных мер, которые могут быть использованы для количественной оценки структурных свойств порового пространства (Matheron, 1974; Bonnesen et al., 1988; Serra, 1983; Michielsen, Raedt, 2001; Mecke, Arns, 2005; Mecke, 2000).

Рассмотрим тело X с гладкой границей δX, вложенное в d-мерное евклидово пространство R^d, соответствующее положению области поровой фазы в образце. Следовательно, для X существует d + 1 функционалов Минковского.

В данной работе рассматриваются плоские сечения порового пространства, поэтому мы будем рассматривать только 2-мерные функционалы Минковского. Пусть X – заданное плоское сечение порового пространства в образце. В 2-мерном пространстве R² существует 3 функционала Минковского M_i(X), i = 0,1,2, которые пропорциональны таким основным геометрическим характеристикам, как площадь поверхности S(X), периметр P(X) и эйлерова характеристика χ(X), и определяются следующим образом:

, (1)

, (2)

, (3)

где dσ и dl – элементы поверхности и окружности соответственно, R – радиус локальной кривизны. Это приводит к следующему определению площади поверхности S(X) = M₀(X), периметра P(X) = 2πM₁(X) и 2D эйлеровой характеристики χ(X) = πM₂(X).

Эйлерова характеристика рассматривается как интегральная оценка структурной сложности объекта и определяется как знакопеременная сумма топологических инвариантов, называемых числами Бетти (Arns et al., 2001). Для объекта X, вложенного в R², существуют два числа Бетти – b₀(X) и b₁(X), а эйлерову характеристику можно записать следующим образом:

χ(X) = b₀(X) – b₀(X). (4)

В двумерном пространстве числа Бетти имеют наглядную интерпретацию. b₀(X) – число отдельных частей (связных компонент), из которых состоит объект. b₁(X) соответствует числу сквозных туннелей в объекте.

Приведем основные свойства функционалов Минковского:

• Аддитивность. Обозначим через K класс выпуклых множеств в R^d. Предположим, что множество X ∈ K разделено плоскостью на 2 подмножества X₁ и X₂, которые также являются выпуклыми, так что X = X₁ ∪ X₂ и X₁, X₂ ∈ K, тогда:

для ν = 0,1,…,d; (5)

• Инвариантность относительно движений (трансляций и поворотов). Пусть G – группа движений в R^d. Тогда действие элемента группы g ∈ G на выпуклом множестве X ∈ K записывается как gX. Тогда:

для ν = 0,1,…,d; (6)

• Непрерывность. Если имеет место сходимость последовательности выпуклых множеств (которая определяется на основе метрики Хаусдорфа для множеств), то есть X_n → X при n → ∞ и X_n, X ∈ K, тогда:

при n → ∞ для ν = 0,1,…,d; (7)

Здесь мы упомянули только выпуклые множества, но эти свойства можно обобщить на класс L множеств, которые можно представить в виде конечного объединения выпуклых множеств, т. е. X ∈ L, если  и X_i ∈ K. В рамках данной работы мы предполагаем, что поровое пространство и все его двумерные плоские сечения удовлетворяют этому условию и принадлежат классу L.

С развитием вычислительной геометрии (Edelsbrunner, 2014; Michielsen, Raedt, 2001) в различных работах были представлены методы вычисления функционалов Минковского для бинарных изображений (Ohser, Mücklich, 2000; Mantz et al., 2008; Boelens, Tchelepi, 2021). В настоящей работе был использован подход, предложенный в (Legland et al., 2007; Legland, 2024).

В соответствии с этим подходом площадь поверхности объектов в двумерном пространстве вычисляется как количество пикселей в объекте. Эйлерова характеристика вычисляется на основе обобщенного определения, так называемого обобщения Zähle для тел с негладкой границей. Мера периметра для двумерных объектов вычисляется на основе дискретизации формулы Крофтона. Для пикселей изображения применяется 4-связность.

Расчеты двумерных функционалов Минковского для поперечных сечений бинарных изображений пористой среды были выполнены с использованием MATLAB.

Описание и численная симуляция гидродинамики медленных течений флюидов в пористых средах

В настоящей статье рассматриваются только достаточно медленные однофазные потоки с числом Рейнольдса, близким к нулю. В этом случае уравнения Стокса и неразрывности используются для описания сохранения импульса и сохранения массы (Scheidegger, 1957):

, (8)

, (9)

где  – скорость потока жидкости, μ – динамическая вязкость жидкости, p – давление,  – плотность силы, ρ – плотность флюида.

Численное моделирование потока флюида в образцах бинарных пористых сред выполнялось в модуле FlowDict программного обеспечения GeoDict с использованием параллельных вычислений (GeoDict simulation software, 2022; Wiegmann et al., 2010; Saxena et al., 2017; Mattila et al., 2016; Patankar, 1980; Versteeg, Malalasekera, 2007; Zeng, Grigg, 2006).

В качестве переносимого флюида был выбран газовый конденсат с динамическим параметром вязкости μ = 0,00107 кг/(м∙с). Моделирование проводилось в кубической области с границей, окружающей образец бинарной пористой среды. Для всех образцов был применен одинаковый градиент давления только по оси Z. Граничные условия задавались таким образом, что проницаемыми для жидкости были оставлены только 2 противоположные грани куба, ортогональные оси Z, т.е. подобно тому, как если бы образец находился в трубе квадратного сечения, стенки которой плотно прилегают к 4 граням образца.

В результате моделирования для каждого бинарного образца был получен массив средних значений компоненты вектора скорости ʋz в каждом слое образца, ортогональном оси Z. Предполагался стационарный режим течения, т. е. без зависящящих от времени параметров, в т.ч. без турбулентности.

Рис. 2–4 представляют собой изображения полей устоявшегося распределения значений поперечной скорости для различных образцов, изученных в рамках данной работы.

Рис. 2. Карта распределения значений поперечной скорости, масштабированных в интервале от 0 до 1 для устойчивого потока в синтетическом образце, полученная путем моделирования уравнения Стокса с использованием модуля FlowDict

Рис. 3. Карта распределения значений поперечной скорости, масштабированных в интервале от 0 до 1 для устойчивого потока в образце карбоната, полученная путем моделирования уравнения Стокса с использованием модуля FlowDict

Корреляции динамических и геометрических характеристик

Перед построением моделей для характеризации скорости потока флюида необходимо в различных классах образцов пористых сред проанализировать связи между геометрическими характеристиками, вычисленными из бинаризованных томографических изображений, и средними значениями компоненты скорости потока, полученными из моделирования гидродинамики.

В этом разделе корреляции между средними значениями компоненты скорости потока в сечениях образца и 2D функционалами Минковского для соответствующих слоев порового пространства рассматриваются для случаев моделирования течения Стокса. Для обеспечения единообразия средние компоненты скорости и значения функционалов Минковского для всех образцов были нормированы на интервал от 0 до 1.

Для начала рассмотрим синтетические образцы. На рис. 5 представлены примеры диаграмм рассеяния, которые отображают связи между средней скоростью потока жидкости, полученной при моделировании уравнения Стокса для каждого сечения образца, с функционалами Минковского порового пространства в соответствующих сечениях в образце A3 (стеклянные шарики радиусами 70–100 мкм).

Рис. 5. Диаграммы рассеяния для средних значений компоненты скорости ʋ_z, полученных с помощью моделирования уравнения Стокса, и 2D функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ для образца A3 (синтетический образец, стеклянные шарики радиусами 70–100 мкм)

Отчетливо видно, что большие значения M₀, т. е. большая площадь поперечного сечения порового пространства соответствует меньшим скоростям потока жидкости ʋ_z.

В бинарных пористых средах общая площадь поперечного сечения образца S является суммой площади порового пространства и площади породы, т. е. S = S_пор + S_породы, большая площадь твердой фазы приводит к меньшей площади порового пространства, что означает, что остается меньше места для переноса жидкости.

В случае синтетических образцов зависимость довольно близка к линейной. Цифры в табл. 2 также показывают высокие (по модулю) коэффициенты корреляции между средней компонентой скорости ʋz и функционалом Минковского M₀. Как видно из изображений поперечных сечений, представленных в левом столбце рис. 1, эти образцы представляют собой плотные упаковки стеклянных шариков. Такая пространственная конфигурация образует хорошо связанное поровое пространство, что позволяет осуществлять эффективную фильтрацию жидкости.

Диаграммы рассеяния для средней скорости ʋ_z и M₁, которая пропорциональна общему периметру межфазной границы, не показывают никаких выраженных тенденций, что означает, что значения коэффициента корреляции близки к нулю, как можно видеть в табл. 2.

Табл. 2. Коэффициенты корреляции для средних значений компоненты скорости ʋz и функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ в синтетических образцах

Что касается M₂, пропорционального эйлеровой характеристике, которую в свою очередь можно рассматривать как «характеристику структурной сложности» поперечного сечения порового пространства, то соответствующие диаграммы рассеяния представляют собой слегка вытянутые облака точек с восходящим трендом, что хорошо согласуется с положительными коэффициентами корреляции в табл. 2.

Теперь рассмотрим образцы карбонатов, соответствующие примеры диаграмм рассеяния представлены на рис. 6.

Рис. 6. Диаграммы рассеяния для средних значений компоненты скорости ʋ_z, полученных с помощью моделирования уравнения Стокса, и 2D функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ для образца C3 (карбонат)

В случае образцов карбоната нисходящий тренд отчетливо прослеживается на диаграммах рассеяния для ʋ_z и M₀, что также подтверждается большими по модулю отрицательными соответствующими коэффициентами корреляции для ʋ_z и M₀, наблюдаемыми в табл. 3.

Табл. 3. Коэффициенты корреляции для средних значений компоненты скорости ʋ_z и функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ в образцах карбоната

Диаграммы рассеяния для ʋ_z и M₁ показывают, что больший периметр порового пространства в основном соответствует меньшим средним скоростям для заданного поперечного сечения образца. Такой вид зависимости может быть объяснен с учетом соображения, следующего из уравнения Хагена–Пуазейля. В случае вязких жидкостей потоки, прилегающие к границе порового пространства, имеют более низкие скорости, чем те, которые удалены от границы (рис. 2–4). Это создает низкоскоростные слои, соседствующие с межфазной границей, что приводит к более низкой средней скорости для больших периметров границ.

Что касается диаграмм рассеяния для ʋ_z и M₂, то из них видно, что более высокая средняя скорость соответствует меньшей эйлеровой характеристике, образуя слегка нисходящий тренд. Это также показано в табл. 3, где наблюдаются умеренные отрицательные коэффициенты корреляции для ʋ_z и M₂.

Перейдем к рассмотрению образцов песчаника. Соответствующие примеры диаграмм рассеяния представлены на рис. 7.

Рис. 7. Диаграммы рассеяния для средних значений компоненты скорости ʋ_z, полученных с помощью моделирования уравнения Стокса, и 2D функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ для образца S3 (песчаник)

Для образцов песчаника можно снова наблюдать достаточно выраженный нисходящий тренд на диаграммах рассеяния для ʋ_z и M₀, что также подтверждается большими по модулю отрицательными коэффициентами корреляции в табл. 4, как и для двух других рассматриваемых классов образцов.

Что касается диаграмм рассеяния для ʋ_z и M₁, они демонстрируют очень слабо выраженный нисходящий тренд. Это также можно увидеть в табл. 4, показывающей довольно малые по модулю отрицательные показатели корреляции для ʋz и M1.

Диаграммы рассеяния для ʋ_z и M₂ в целом не показывают никаких выраженных тенденций для песчаника, что приводит к довольно малым по модулю коэффициентам корреляции, как положительным, так и отрицательным (табл. 4).

Табл. 4. Коэффициенты корреляции для средних значений компоненты скорости ʋ_z и функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ в образцах песчаника

По результатам первичного корреляционного анализа можно сделать вывод о существовании некоторых устойчивых связей между динамическими свойствами потока жидкости через пористую среду и геометрическими свойствами этой среды. Это формирует основу для разработки прогностических моделей, описывающих динамику скорости потока жидкости на основе геометрии соответствующего порового пространства.

Регрессионные модели для средней скорости потока жидкости

Что касается результатов корреляционного анализа и в особенности высоких значений коэффициентов корреляции для ʋ_z и M₀ для большинства рассмотренных образцов, можно предположить наличие связи между ʋ_z и функционалами Минковского, которую можно представить в виде многомерной линейной регрессионной модели (Montgomery et al., 2021). Как говорилось ранее, образцы имеют кубическую форму. Обозначим за l длину стороны куба (образца). Пусть также X(z) – плоское сечение на уровне z порового пространства образца, при этом z ∈ [0, l]. Тогда, для фиксированного образца, функционалы Минковского M_i(X(z)) для слоев X(z) порового пространства образца на уровне z можно записать как функцию координаты z, т.е. M_i(z) = M_i(X(z)). Тогда линейная регрессионная модель:

, 10

где M_i(z) = M_i(X(z)), i = 0,1,2 – значения функционалов Минковского для слоев порового пространства X(z) на уровне z, а коэффициенты c_i для i = 0,1,2 и b – действительные коэффициенты (константы). В данной работе регрессионный анализ выполняется с использованием Python (Pedregosa et al., 2011; Buitinck et al., 2013; Seabold, Perktold, 2010).

В рамках работы мы предполагаем, что для произвольного класса L образцов пористых сред существует модель (т.е. набор действительных коэффициентов c₀, c₁, c₂ и b), которая способна предсказывать тренды для масштабированных на отрезок [0,1] значений компоненты средней скорости потока флюида ʋz на основе линейной комбинации значений масштабированных на отрезок [0,1] 2D функционалов Минковского M₀, M₁, M₂ в каждом слое образца с определенной степенью точности. Пусть X(z) – произвольное плоское сечение на уровне z порового пространства произвольного образца пористой среды из класса L. Учитывая вышеизложенные соображения, общая формула для регрессионной модели записывается следующим образом:

, (11)

где c₀^L, c₁^L, c₂^L и b^L – коэффициенты модели, построенной для образца класса L, которую можно использовать для предсказания значений на других образцов из класса L.

В этом разделе для каждого рассматриваемого в работе класса пористых сред строится регрессионная модель со значениями ʋ_z, полученными из моделирования Стокса.

Как и в предыдущем разделе, начнем с синтетических образцов. Табл. 5 показывает свойства построенной линейной регрессионной модели, такие как значения коэффициентов, соответствующие им стандартные ошибки и уровень статистической значимости, а также значение коэффициента детерминации R² для всей модели. Образец A1 был выбран в качестве образца для построения модели для класса синтетических образцов.

Как видно из табл. 5, коэффициенты данной модели, за исключением c₂, имеют высокий уровень статистической значимости, а высокое значение коэффициента детерминации R² показывает предсказательную силу модели.

Табл. 5. Параметры регрессионной модели для класса синтетических образцов, построенной на образце A1

На рис. 8 прогнозные значения средней скорости потока жидкости по слоям ʋ_z, определенные с применением регрессионной модели из табл. 5, сопоставляются с ʋ_z, полученными непосредственно из численного моделирования уравнения Стокса. Видно, что предсказательная способность построенной регрессионной модели достаточно высока для рассмотренных синтетических образцов, с наблюдаемой относительной ошибкой на уровне 1–4%.

Рис. 8. Сопоставление зависимостей средних значений компоненты скорости потока флюида ʋ_z в каждом слое от координаты слоя для синтетических образцов. Красным цветом выделена зависимость, соответствующая значениям ʋ_z, полученным из расчета из нормированных на отрезок [0,1] функционалов Минковского по построенной для класса образцов карбоната регрессионной модели. Зависимость для нормированных значений ʋ_z, полученных из численной симуляции уравнения Стокса, показана черным цветом.

Далее рассмотрим образцы карбонатов, для которых параметры соответствующей регрессионной модели указаны в табл. 6. В качестве обучающего в классе карбонатов был выбран образец C1.

Из табл. 6, как и в случае синтетических образцов, можно сделать вывод, что модель, построенная для образцов карбоната, имеет в большинстве статистически значимые коэффициенты и достаточно высокое значение R².

Табл. 6. Параметры регрессионной модели для карбонатов, построенной на образце C1

На рис. 9 сопоставлены прогнозные значения ʋ_z из модели в табл. 6 и значения из численного моделирования Стокса для различных образцов карбоната. Средняя скорость потока жидкости по слоям довольно точно описывается построенной линейной моделью с относительной ошибкой на уровне 5–6%.

Рис. 9. Сопоставление зависимостей средних значений компоненты скорости потока флюида ʋ_z в каждом слое от координаты слоя для образцов карбонатов. Красным цветом выделена зависимость, соответствующая значениям ʋ_z, полученным из расчета из нормированных на отрезок [0,1] функционалов Минковского по построенной для класса синтетических образцов регрессионной модели. Зависимость для нормированных значений ʋ_z, полученных из численной симуляции уравнения Стокса, показана черным цветом.

Рассмотрим образцы песчаника, для которых свойства соответствующей модели приведены в табл. 7. Образец S1 был выбран в качестве обучающего образца для песчаников.

Из данных в табл. 7 можно сделать вывод о том, что модель, построенная для образцов песчаника, как и для рассмотренных классов образцов, имеет в основном статистически значимые коэффициенты, за исключением c₂, и довольно высокое значение R².

На рис. 10 сопоставляются значения средней скорости потока жидкости по слоям, вычисленной с помощью модели из табл. 7, с ʋ_z, полученной из численного моделирования уравнения Стокса. Средняя скорость потока жидкости по слоям довольно точно описывается построенной линейной моделью с относительной ошибкой на уровне 2–7%.